Як Побудувати Графік Y = 2|x - 3| З Y = |x|: Посібник

Розуміємо Базову Функцію y = |x|

Перед тим як зануритися у складніші перетворення, нам потрібно повністю освоїти базову функцію y = |x|. Ця функція, яку ми називаємо функцією абсолютного значення, є відправною точкою для нашого сьогоднішнього завдання. Вона має дуже характерну і легко впізнавану форму: симетрична V-подібна крива, вершина якої знаходиться прямо в початку координат, тобто в точці (0,0). По суті, y = |x| означає, що значення y завжди буде невід'ємним (нуль або додатнім), незалежно від того, яке значення x ми обираємо. Якщо x додатнє, y дорівнює x; якщо x від'ємне, y дорівнює протилежному значенню x, роблячи його додатнім. Наприклад, |5| = 5, а |-5| = 5. Це і створює таку унікальну V-форму. Давайте розглянемо декілька ключових точок, щоб чітко уявити її графік: для x = -2, y = |-2| = 2; для x = -1, y = |-1| = 1; для x = 0, y = |0| = 0; для x = 1, y = |1| = 1; для x = 2, y = |2| = 2. Якщо ви нанесете ці точки на координатну площину (-2,2), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,2) і з'єднаєте їх, ви чітко побачите ту саму V-подібну форму, яка відкривається вгору. Важливо, хлопці, запам'ятати, що вершина графіка y = |x| завжди знаходиться в точці (0,0). Ця точка є нашою орієнтовною для всіх подальших перетворень. Розуміння області визначення та області значень цієї функції також є ключовим. Область визначення (всі можливі значення x) - це всі дійсні числа, оскільки ми можемо підставити будь-яке число замість x. Область значень (всі можливі значення y) - це всі невід'ємні дійсні числа [0, ∞), оскільки y ніколи не буде від'ємним. Це, по суті, наш фундамент для побудови графіка y = 2|x - 3|. Запам'ятайте цю V-подібну красу, адже саме її ми будемо трансформувати!

Крок за Кроком: Перетворення Графіка

Давайте перейдемо до найцікавішого – перетворення нашого базового графіка y = |x| у y = 2|x - 3|. Це не так страшно, як може здатися! Ми будемо робити це поетапно, розглядаючи кожен чинник у рівнянні y = 2|x - 3| окремо. Перше, що ми помічаємо, – це (x - 3) всередині модуля та множник 2 зовні. Кожен з цих елементів відповідає за певне перетворення графіка функції, і розуміння їх впливу є ключем до успішної побудови. Наша мета – послідовно застосувати ці зміни до вихідного графіка y = |x|. Завжди починайте з перетворень всередині дужок або модуля (горизонтальні зсуви), а потім переходьте до множників (розтягнення/стиснення) і, нарешті, до доданків (вертикальні зсуви), якщо вони є. У нашому випадку, ми спочатку розберемося з (x - 3), що є горизонтальним зсувом, а потім з 2, що відповідає за вертикальне розтягнення. Це логічна послідовність, яка допоможе уникнути плутанини і гарантує правильний результат. Так що, готуйтеся, ми почнемо подорож із зсуву, а потім розтягнемо наш графік, щоб він став саме таким, як треба. Це як математичний конструктор, де кожен елемент виконує свою роль, і ми збираємо фінальну модель за інструкцією.

Зсув по Осі X: Від y = |x| до y = |x - 3|

Наш перший крок у перетворенні графіка функції – це горизонтальний зсув. Зверніть увагу на вираз (x - 3) всередині модуля. Коли ви бачите (x - c) у функції, це означає, що графік зсувається вправо на c одиниць. І навпаки, (x + c) означав би зсув вліво на c одиниць. Звучить трохи контрінтуїтивно, чи не так? Багато хто плутається і думає, що x - 3 зсуває графік вліво. Але ні, хлопці, це саме зсув вправо! Щоб зрозуміти, чому, уявіть, що раніше вершина y = |x| була в точці, де x = 0. Тепер, для функції y = |x - 3|, значення всередині модуля (x - 3) повинно дорівнювати нулю, щоб знайти нову вершину. Тобто, x - 3 = 0, звідки x = 3. Отже, наша нова вершина переміщається з (0,0) до (3,0). Всі інші точки графіка y = |x| також зсуваються вправо на 3 одиниці. Наприклад, точка (1,1) з y = |x| переміститься до (1+3, 1) = (4,1) для y = |x - 3|. Точка (-1,1) переміститься до (-1+3, 1) = (2,1). Графік зберігає свою V-подібну форму та ширину, але фізично переміщається по осі x. Цей горизонтальний зсув є фундаментальним розумінням того, як змінюється положення графіка без зміни його форми. Це як взяти наш базовий графік y = |x| і просто пересунути його по столу вправо на 3 кроки. Звучить просто, але це дуже важливий етап у побудові графіка y = 2|x - 3|.

Розтягнення по Осі Y: Від y = |x - 3| до y = 2|x - 3|

Тепер, коли наш графік y = |x - 3| вже зсунувся вправо, прийшов час для наступного перетворення: вертикального розтягнення. Зверніть увагу на множник 2 перед модулем у функції y = 2|x - 3|. Коли у вас є функція у вигляді y = a * f(x), де a – це число, то це означає вертикальне розтягнення (якщо |a| > 1) або вертикальне стиснення (якщо 0 < |a| < 1) графіка функції f(x) в |a| разів. У нашому випадку, a = 2, що означає, що ми розтягуємо графік вертикально у 2 рази. Кожна y-координата нашого попереднього графіка y = |x - 3| тепер буде помножена на 2, тоді як x-координати залишаться незмінними. Вершина графіка, яка знаходиться на осі x (точка (3,0)), не зміниться при цьому розтягненні, оскільки 0 * 2 все одно дорівнює 0. Однак, усі інші точки, які не лежать на осі x, будуть віддалятися від осі x. Наприклад, точка (4,1) з графіка y = |x - 3| тепер перетвориться на (4, 1*2) = (4,2). А точка (2,1) стане (2, 1*2) = (2,2). Це призводить до того, що **V-подібна форма стає