Resuelve Este Sistema De Ecuaciones: X, Y, Z
¡Qué onda, matemáticos! Hoy nos echamos un clavado en un sistema de ecuaciones que seguro les va a volar la cabeza. Vamos a desmenuzar un problemita donde tenemos que encontrar los valores de x, y, z que cumplen con todo al mismo tiempo. ¿Listos? ¡Vamos allá!
Entendiendo el Sistema de Ecuaciones
Imaginen que tienen un trío de ecuaciones que están súper conectadas. Cada una nos da una pista, y solo una combinación de x, y, z hace que todas las pistas sean ciertas. Aquí tenemos nuestro sistema:
2x = 43x + 4y = 6-3x - 4y + z = 8
El rollo aquí es encontrar esos números mágicos para x, y, z que, al sustituirlos en cada una de las ecuaciones, nos den el resultado correcto. Es como un rompecabezas donde cada pieza tiene que encajar a la perfección. ¡Pero no se me asusten, que esto es más fácil de lo que parece si seguimos los pasos correctos!
Paso 1: Despejando la 'x' en la Primera Ecuación
La primera ecuación es un regalo, ¡neta! 2x = 4. Aquí, x está súper sola y lista para ser descubierta. Para despejar x, solo tenemos que dividir ambos lados de la ecuación entre 2. Es como repartir pastel equitativamente. Si 2x es igual a 4, entonces x tiene que ser la mitad de 4. Sacando la cuenta, ¡tenemos que x = 2!
¡Y listo! Ya encontramos el primer valor. A veces, los problemas nos dan un punto de partida súper sencillo, y este era uno de ellos. Tener el valor de x nos va a servir como llave maestra para abrir las otras puertas, o sea, las otras ecuaciones. Recuerden siempre que en matemáticas, como en la vida, ¡un paso bien dado te acerca un montón a la meta! ¡Así que celebren este primer logro y prepárense para lo que sigue!
Paso 2: Encontrando el Valor de 'y' con la Segunda Ecuación
Ahora que ya sabemos que x = 2, vamos a usar esta joya de información en la segunda ecuación: 3x + 4y = 6. ¿Se acuerdan que les dije que el valor de x era una llave? Pues aquí es donde la usamos. Vamos a sustituir x por su valor, que es 2.
La ecuación se ve así ahora: 3*(2) + 4y = 6. Si hacemos la multiplicación, 3 * 2 nos da 6. Así que la ecuación queda como 6 + 4y = 6.
Ahora, queremos dejar a la y sola, ¿verdad? Para eso, vamos a restar 6 de ambos lados de la ecuación. Si 6 + 4y es igual a 6, y le quitamos 6 a ambos lados, nos queda 4y = 6 - 6. ¡Y sorpresa! 6 - 6 es 0. Así que tenemos 4y = 0.
Para despejar y, solo dividimos ambos lados entre 4. Y 0 dividido entre cualquier número (que no sea cero, claro) siempre es 0. ¡Por lo tanto, y = 0!
¡Boom! Ya tenemos dos de las tres variables. ¡Esto va viento en popa, muchachos! Ya encontramos que x = 2 y y = 0. ¿Sienten la adrenalina? ¡Ya casi llegamos a la meta final! Recuerden que cada paso que damos, aunque parezca pequeño, nos acerca más a la solución. ¡No se rindan y sigan dándole con todo!
Paso 3: Descubriendo el Valor de 'z' con la Tercera Ecuación
¡Llegó el momento de la verdad! Ya tenemos x = 2 y y = 0. Ahora vamos a usarlos en la tercera y última ecuación: -3x - 4y + z = 8. Esta es la que nos va a revelar el valor de z.
Vamos a sustituir los valores que ya conocemos. Donde veamos una x, ponemos un 2, y donde veamos una y, ponemos un 0.
La ecuación se ve así: -3*(2) - 4*(0) + z = 8.
Ahora, ¡hagamos las operaciones! Primero, -3 * 2 es -6. Y -4 * 0 es 0.
Así que la ecuación nos queda: -6 - 0 + z = 8.
Simplificando, -6 + z = 8.
Para dejar a la z solita, necesitamos mover ese -6 al otro lado de la igualdad. ¿Cómo? ¡Sumando 6 en ambos lados! Si -6 + z es igual a 8, entonces sumamos 6 a ambos lados para que z quede libre: z = 8 + 6.
¡Y la suma es 14! Así que, ¡z = 14!
¡Lo logramos, equipo! Hemos encontrado los valores de las tres variables que hacen que todo el sistema de ecuaciones funcione a la perfección. Los valores son: x = 2, y = 0, y z = 14.
Verificando la Solución: ¡La Prueba Final!
Para asegurarnos de que no nos equivocamos, lo más chido es hacer una verificación rápida. Vamos a meter nuestros valores de x=2, y=0, z=14 en cada una de las ecuaciones originales y ver si todo cuadra.
- Ecuación 1:
2x = 4. Sustituimos:2*(2) = 4. ¡4 = 4! ¡Correcto! - Ecuación 2:
3x + 4y = 6. Sustituimos:3*(2) + 4*(0) = 6. Simplificamos:6 + 0 = 6. ¡6 = 6! ¡Perfecto! - Ecuación 3:
-3x - 4y + z = 8. Sustituimos:-3*(2) - 4*(0) + 14 = 8. Simplificamos:-6 - 0 + 14 = 8. ¡8 = 8! ¡Increíble!
Como ven, ¡todas las ecuaciones se cumplen con nuestros valores! Esto significa que nuestra solución es la correcta. Los valores que satisfacen simultáneamente el sistema son x = 2, y = 0, z = 14.
Reflexionando sobre el Proceso
Resolver sistemas de ecuaciones como este es una habilidad fundamental en matemáticas. Nos enseña a ser lógicos, a seguir pasos ordenados y a usar la información que tenemos para descubrir lo desconocido. En este caso, la clave fue empezar por la ecuación más simple (2x = 4) para despejar una variable (x), y luego usar ese valor en las siguientes ecuaciones hasta encontrar todas las incógnitas.
Es importante recordar que no todos los sistemas son tan directos. A veces, las ecuaciones son más complejas y requieren técnicas adicionales como la sustitución o la eliminación. Pero el principio básico es el mismo: usar las relaciones entre las variables para aislarlas y encontrar sus valores.
Este tipo de problemas se aplica en un montón de áreas, desde la física y la ingeniería hasta la economía y la informática. ¡Así que dominar estas técnicas les abre un mundo de posibilidades!
¿Por qué es importante resolver estos sistemas?
Resolver sistemas de ecuaciones nos entrena el cerebro para pensar de manera analítica. Nos ayuda a descomponer problemas grandes en partes más pequeñas y manejables. Cada vez que resuelven un sistema, están fortaleciendo su capacidad para resolver problemas en general, algo súper valioso en cualquier aspecto de la vida.
Además, en el mundo de la ciencia y la tecnología, los sistemas de ecuaciones son el pan de cada día. Se utilizan para modelar situaciones del mundo real, predecir resultados y diseñar soluciones. Por ejemplo, en ingeniería, se usan para calcular las tensiones en una estructura o el flujo de fluidos. En economía, para modelar mercados o predecir tendencias.
Así que, la próxima vez que se enfrenten a un sistema de ecuaciones, recuerden que no solo están haciendo un ejercicio de matemáticas, ¡están desarrollando herramientas poderosas para entender y transformar el mundo que los rodea! ¡Sigan practicando, y verán cómo cada vez se vuelven más cracks en esto!
Conclusión: ¡Misión Cumplida!
¡Felicidades, cracks! Hemos llegado al final de este viaje matemático. Hemos abordado un sistema de ecuaciones y, paso a paso, hemos descubierto los valores de x, y, z que lo resuelven. Recordamos que la clave fue la sustitución y la lógica. ¡Y lo más importante, verificamos nuestra respuesta para estar 100% seguros!
Los valores correctos son x = 2, y = 0, z = 14. ¡Así que si alguna vez se encuentran con estas opciones, ya saben cuál elegir!
¡Sigan explorando el fascinante mundo de las matemáticas! ¡Hay un montón de cosas increíbles por descubrir!
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