Aralarında Asal Sayılar: Rehberiniz

by Admin 36 views
Aralarında Asal Sayılar: Rehberiniz

Selam millet! Bugün matematikte oldukça önemli bir konuya dalacağız: aralarında asal sayılar. Bu kavram, özellikle sayı teorisi ve kriptografi gibi alanlarda karşımıza sıkça çıkıyor. Peki, tam olarak nedir bu aralarında asal olma durumu ve hangi sayılar bu özelliğe sahip oluyor? Gelin, bu konuyu enine boyuna inceleyelim ve kafa karışıklığını ortadan kaldıralım.

Aralarında Asal Sayılar Nedir?

Matematikte, iki veya daha fazla tam sayının en büyük ortak böleni (EBOB) 1'e eşitse, bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Basitçe ifade etmek gerekirse, bu sayılar arasında 1'den başka ortak bir bölen bulunmaz. Örneğin, 8 ve 15 sayılarına bakalım. 8'in bölenleri 1, 2, 4, 8'dir. 15'in bölenleri ise 1, 3, 5, 15'tir. Gördüğünüz gibi, bu iki sayının ortak böleni sadece 1'dir. Bu nedenle, 8 ve 15 aralarında asaldır. Bu durum, sayının kendisinin asal olup olmamasıyla karıştırılmamalıdır. Örneğin, 9 sayısı asal değildir (3'e bölünür), ancak 9 ve 10 sayıları aralarında asaldır çünkü ortak bölenleri sadece 1'dir. 10'un bölenleri 1, 2, 5, 10 iken, 9'un bölenleri 1, 3, 9'dur.

Bu kavramı anlamak için EBOB'u hatırlamak faydalı olacaktır. İki sayının EBOB'unu bulmak için farklı yöntemler kullanabilirsiniz. En yaygın yöntemlerden biri, sayıların asal çarpanlarına ayırarak ortak olan çarpanları bulmaktır. Örneğin, 12 ve 18 sayılarını ele alalım. 12'nin asal çarpanları 2 x 2 x 3'tür. 18'in asal çarpanları ise 2 x 3 x 3'tür. Ortak olan asal çarpanlar 2 ve 3'tür. Bu ortak çarpanların çarpımı (2 x 3 = 6) bu iki sayının EBOB'udur. Yani 12 ve 18 aralarında asal değildir, çünkü EBOB'ları 1'den büyüktür.

Ancak, eğer iki sayının EBOB'u 1 ise, o zaman bu sayılar aralarında asaldır. Örneğin, 7 ve 15 sayılarına bakalım. 7'nin asal çarpanı sadece 7'dir. 15'in asal çarpanları ise 3 ve 5'tir. Gördüğünüz gibi, bu iki sayının arasında hiçbir ortak asal çarpan yoktur. Dolayısıyla, EBOB(7, 15) = 1'dir ve 7 ile 15 aralarında asaldır. Bu durum, sayılar ne kadar büyük olursa olsun geçerlidir. Önemli olan, ortak bölenlerinin sadece 1 olmasıdır.

Bu konsept, özellikle asal sayıların dağılımını ve özelliklerini inceleyen sayılar teorisinin temel taşlarından biridir. Ayrıca, modern şifreleme algoritmalarının (örneğin RSA algoritması) çalışma prensiplerinde de kritik bir rol oynar. Bu algoritmalar, büyük sayılar arasındaki aralarında asal olma özelliğinden yararlanarak verileri güvenli bir şekilde şifreler ve şifre çözer. Yani, bu basit gibi görünen matematiksel kavram, dijital dünyamızın güvenliğini sağlamada bile etkili bir araçtır, dostlar.

Sayıların Aralarında Asal Olup Olmadığını Anlama Yöntemleri

Biraz önce EBOB kavramından bahsettik. Aralarında asal olup olmadıklarını anlamanın en temel yolu, bu EBOB'u bulmaktır. Eğer EBOB(a, b) = 1 ise, a ve b aralarında asaldır. Peki, EBOB'u nasıl bulacağız? İşte size birkaç pratik yöntem:

  1. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi: Bu yöntemde, her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayırırsınız. Ardından, bu asal çarpan listelerine bakarak ortak olanları belirlersiniz. Eğer ortak hiçbir asal çarpan yoksa, sayılar aralarında asaldır. Eğer ortak asal çarpanlar varsa, bunların çarpımı EBOB'u verir. Örneğin, 25 ve 36 sayılarını inceleyelim. 25 = 5 x 5. 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Gördüğünüz gibi, bu iki sayının ortak hiçbir asal çarpanı yok. Dolayısıyla, EBOB(25, 36) = 1'dir ve 25 ile 36 aralarında asaldır.

  2. Öklid Algoritması: Bu yöntem, özellikle büyük sayılarla uğraşırken çok daha pratiktir. Öklid algoritması, iki sayının EBOB'unu bulmak için tekrarlı bölme işlemini kullanır. Algoritma şu şekildedir:

    • Büyük sayıyı küçük sayıya bölün ve kalanı bulun.
    • Eğer kalan 0 ise, bölen EBOB'dur.
    • Eğer kalan 0 değilse, şimdi küçük sayıyı kalana bölün ve bu işlemi kalan 0 olana kadar tekrarlayın. Son bölme işlemi sırasında elde edilen bölen, EBOB'dur.

    Örneğin, 48 ve 180 sayılarının EBOB'unu bulalım:

    • 180 / 48 = 3 kalan 36
    • 48 / 36 = 1 kalan 12
    • 36 / 12 = 3 kalan 0

    Kalan 0 olduğuna göre, son bölen olan 12, bu iki sayının EBOB'udur. Yani 48 ve 180 aralarında asal değildir.

    Şimdi de 17 ve 28 sayılarına bakalım:

    • 28 / 17 = 1 kalan 11
    • 17 / 11 = 1 kalan 6
    • 11 / 6 = 1 kalan 5
    • 6 / 5 = 1 kalan 1
    • 5 / 1 = 5 kalan 0

    Kalan 0 olduğuna göre, son bölen olan 1, bu iki sayının EBOB'udur. Dolayısıyla, 17 ve 28 aralarında asaldır.

Bu iki yöntem, sayıların aralarında asal olup olmadığını belirlemek için en güvenilir ve yaygın olarak kullanılan tekniklerdir. Hangi yöntemin daha iyi olduğu, sayıların büyüklüğüne ve kişisel tercihinize bağlıdır. Ancak her ikisi de matematiksel mantık çerçevesinde kesin sonuçlar verir.

Belirtilen Sayıların Aralarında Asal Olup Olmadığını İnceleme

Şimdi gelelim sizin sorduğunuz o özel sayılara: 12, 2735, 4932, 457, 1810, 3321, 48, 5, 5511, 81. Bu sayıların hangilerinin birbirleriyle aralarında asal olduğunu ve hangilerinin olmadığını, biraz önce öğrendiğimiz yöntemlerle tek tek inceleyelim. Bu, konuyu daha iyi pekiştirmemizi sağlayacak.

1. 12 ve 5:

  • 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  • 5'in bölenleri: 1, 5. (5 asal bir sayıdır).
  • Ortak bölenleri sadece 1'dir. Dolayısıyla, 12 ve 5 aralarında asaldır.

2. 12 ve 81:

  • 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  • 81'in bölenleri: 1, 3, 9, 27, 81.
  • Ortak bölenleri 1 ve 3'tür. EBOB(12, 81) = 3'tür. Dolayısıyla, 12 ve 81 aralarında asal değildir.

3. 5 ve 81:

  • 5 bir asal sayıdır ve bölenleri sadece 1 ve 5'tir.
  • 81'in bölenleri: 1, 3, 9, 27, 81.
  • Ortak bölenleri sadece 1'dir. Dolayısıyla, 5 ve 81 aralarında asaldır.

4. 12 ve 2735:

  • 12'nin bölenleri arasında 2 ve 3 vardır.
  • 2735 sayısı 5'e bölünür (son rakamı 5).
  • 2735'in rakamları toplamı 2+7+3+5 = 17'dir, bu 3'e bölünmez.
  • Ancak 12'nin çarpanlarından biri 2'dir ve 2735 tek sayıdır, yani 2'ye bölünmez.
  • Öklid Algoritması ile EBOB'larını bulalım:
    • 2735 / 12 = 227 kalan 11
    • 12 / 11 = 1 kalan 1
    • 11 / 1 = 11 kalan 0
  • EBOB(12, 2735) = 1'dir. Dolayısıyla, 12 ve 2735 aralarında asaldır.

5. 5 ve 4932:

  • 5 bir asal sayıdır ve bölenleri sadece 1 ve 5'tir.
  • 4932 sayısı 5'e bölünmez (son rakamı 2).
  • Bu durumda, tek ortak bölenleri 1 olacaktır. Dolayısıyla, 5 ve 4932 aralarında asaldır.

6. 457 ve 1810:

  • 457 bir asal sayı mıdır? Deneyelim: 7'ye, 11'e, 13'e, 17'ye, 19'a... Bölünmüyor gibi görünüyor. (Yaklaşık olarak sqrt(457) = 21.3). 457'yi 23'e böldüğümüzde de tam bölünmez. Evet, 457 asal bir sayıdır.
  • 1810 sayısı 5'e ve 2'ye (yani 10'a) bölünür. Çarpanları arasında 2 ve 5 vardır.
  • 457'nin çarpanları arasında 2 veya 5 yoktur.
  • Bu durumda, EBOB(457, 1810) = 1'dir. Dolayısıyla, 457 ve 1810 aralarında asaldır.

7. 1810 ve 3321:

  • 1810 çift sayıdır ve 5'e bölünür.
  • 3321 tek sayıdır ve 3'e bölünür (3+3+2+1=9). Yani 1810 ile ortak çarpanı 2 veya 5 yoktur. 3321'in çarpanı 3'tür, 1810 3'e bölünmez (1+8+1+0=10).
  • Öklid Algoritması:
    • 3321 / 1810 = 1 kalan 1511
    • 1810 / 1511 = 1 kalan 299
    • 1511 / 299 = 5 kalan 16
    • 299 / 16 = 18 kalan 11
    • 16 / 11 = 1 kalan 5
    • 11 / 5 = 2 kalan 1
    • 5 / 1 = 5 kalan 0
  • EBOB(1810, 3321) = 1'dir. Dolayısıyla, 1810 ve 3321 aralarında asaldır.

8. 3321 ve 48:

  • 3321 sayısı 3'e bölünür (rakamları toplamı 9).
  • 48 sayısı 2'ye ve 3'e bölünür (4+8=12).
  • Ortak bölenleri 3'tür. EBOB(3321, 48) = 3'tür. Dolayısıyla, 3321 ve 48 aralarında asal değildir.

9. 48 ve 5:

  • 48'in bölenleri arasında 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 bulunur.
  • 5 asal bir sayıdır ve bölenleri sadece 1 ve 5'tir.
  • Ortak bölenleri sadece 1'dir. Dolayısıyla, 48 ve 5 aralarında asaldır.

10. 5 ve 5511:

  • 5 asal bir sayıdır ve bölenleri sadece 1 ve 5'tir.
  • 5511 sayısının son rakamı 1'dir, bu yüzden 5'e bölünmez.
  • Dolayısıyla, EBOB(5, 5511) = 1'dir. 5 ve 5511 aralarında asaldır.

11. 5511 ve 81:

  • 5511 sayısının rakamları toplamı 5+5+1+1 = 12'dir. Bu nedenle 3'e bölünür.
  • 81 sayısı da 3'e bölünür (8+1=9).
  • Ortak bölenleri 3'tür. EBOB(5511, 81) = 3'tür (Hatta daha büyük olabilir, 3'ten fazla çarpanları var mı bakalım. 81 = 3^4. 5511 = 3 * 1837. 1837 asal mı? 1837 / 7 = 262 kalan 3. 1837 / 11 = 167. Evet, 5511 = 3 * 11 * 167. 81 = 3^4. EBOB(5511, 81) = 3'tür).
  • Dolayısıyla, 5511 ve 81 aralarında asal değildir.

Sonuç Olarak: Hangi Sayılar Karşılıklı Olarak Aralarında Asaldır?

Şimdiye kadar yaptığımız analizlere göre, sorduğunuz sayılar arasında birbirleriyle aralarında asal olan çiftleri listeleyelim:

  • 12 ve 5
  • 12 ve 2735
  • 5 ve 4932
  • 457 ve 1810
  • 1810 ve 3321
  • 48 ve 5
  • 5 ve 5511

Bu çiftlerde, sayılar arasındaki en büyük ortak bölenin 1 olduğunu gördük. Yani bu ikililer, matematikte